八年级下册-数学1-二次根式
AI_god
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2025-02-12 10:37:50
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学习·文化课
一张纸带你起飞八年级下册数学第一单元-二次根式
16.1 二次根式
一般的，我们把形如\sqrt{a}（a \ge 0）的式子叫做二次根式（\texttt{quadratic radical}），“\sqrt{\,\,\,\,\,}”称为二次根号。
根据“二次根式的定义”，我们知道二次根号下的数（这里将这个数看成一个整体“a”），a 必须大于等于 0，否则就没有意义。举个例子，\sqrt{4} 代表的是一个数的平方为 4，一个数的平方，就是自己乘自己，这里分类讨论：
正数的平方：2^2=4，得数是正数。
负数的平方：(-3)^2=9，得数是正数。
根据以上结论，我们得出：任意一个数的平方一定是非负数，所以二次根号下的数一定为非负数，否则无意义。
所以根据：\sqrt{a} 可以得出 a \ge 0。
例子：是二次根式：\sqrt{b}(b\ge0),\sqrt{a+3}(a \ge -3,a+3 \ge 0),\sqrt{a^2},(\sqrt{a})^2(a \ge 0),4+\sqrt{b+c}(b \ge 0,c \ge 0)。
其中“\sqrt{a^2}”因为 a^2 本身就\ge0，所以\sqrt{a^2} 是二次根式。
例子：不是二次根式：a^3,\sqrt[3]{1}。
总结：含有二次根式的式子就是二次根式且根号下化简或计算的结果必须为 0 或正数。
提示：当题目给出一个二次根式那么默认这个二次根式一定有意义。
[解析]：已知题目给出了$\sqrt{a}$，那么$\sqrt{a}$ 一定有意义，所以 $a$ 一定大于等于 $0$，故答案为 $a \ge 0$。
$2.$已知$\sqrt{5a-5}$ 中的 $a$ 一定满足 $a<10$，求 $a$ 的取值范围__________。相对难度：入门+。
[解析]：已知题目给出了$\sqrt{5a-5}$，那么$\sqrt{5a-5}$ 有意义，那么我们将“$5a-5$”看做整体当做“$A$”，那么原式变为：$\sqrt{A}$，根据二次根式的定义得出：二次根号下的数一定大于等于 $0$，所以 $A\ge 0$，因为 $A=5a-5$，所以 $5a-5 \ge 0$，因此 $5a \ge 5,a \ge 1$，根据题目：“$a<10$”，得出答案：$1 \le a \le 10$。
$3.$根据式子$\sqrt{a-10}+|b+3|=0$，分别求出 $a,b$ 的值。相对难度：入门+。
[解析]：
$\because\sqrt{a-10}$ 有意义，$\therefore a-10 \ge 0$；
$\because$ 绝对值一定非负，$\therefore |b+3| \ge 0$。
$\therefore a-10=0$ 且 $|b+3|=0$，分析 $a-10=0$ 得出 $a=10$；分析$|b+3|=0$，得出 $b+3$ 的值为正 $0$ 或负 $0$，$\because +0=-0$，$\therefore b+3=0,b=-3$。
$4.$判断哪些是二次根式：$\sqrt[54188]{a},\sqrt{a},\sqrt[2]{a},\sqrt{a^2},\sqrt{a}(a<0),\sqrt{a}(a \ge0),\frac{\sqrt{2}}{3},4+\sqrt{5},\frac{\sqrt{b}}{a}(b \neq 0)$。相对难度：入门+。
[解析]：对于 $\sqrt[2]{a}$ 就是 $\sqrt{a}$，对于前三个，不保证 $a \ge 0$，所以不一定是二次根式。对于第 $4$ 个 $a^2 \ge 0$，所以是二次根式，对于第 $5$ 个，$a<0$，无意义，所以不是二次根式，第 $6$ 个是标准的二次根式。第 $7,8$ 含有二次根式，故是的，最后一个不能保证 $b \ge 0$，所以不是二次根式。
先问一个问题：$\sqrt{a^2}$ 等于什么？
我们知道 $a^2$ 一定非负，那是因为非负数的平方或负数的平方一定非负，但是我们不能保证 $a$ 一定非负，且在平方后（答案是正数时）在进行开根的答案一定非负，所以$\sqrt{a^2}$ 等于 $a$ 的绝对值。
验证：
- $a=3$ 时，$a^2=3^3=9$，$\sqrt{9}=3$，$3=3$。
- $a=-2$ 时，$a^2=(-2)^2=4$，$\sqrt{4}=2$，$-2=|2|$。
综上所述，$\sqrt{a^2}$ 等于 $a$ 的绝对值：
$$\sqrt{a^2}=|a|。$$
在二次根式中，根号下得数相同的根式可以合并，例如：$3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，都含有“$\sqrt{3}$”，所以可以把系数“$3$”和“$2$”合并。
### $16.2$ 二次根式的乘除
#### 乘法
在二次根式中，$\sqrt{a}\times\sqrt{b}(a \ge 0,b \ge 0)=\sqrt{a \times b}=\sqrt{ab}(a \ge 0,b \ge 0)$。例如：$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2 \times 3}=\sqrt{6}$。
即二次根式的乘法法则：
$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a \ge 0,b \ge 0)$$
根据“$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a \ge 0,b \ge 0)$”可以得出 $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a \ge 0,b \ge 0)$。
即二次根式的乘法法则的逆运算：
$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a \ge 0,b \ge 0)$$
$1.\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=
[解析]：根据“二次根式乘法法则”“\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a \ge 0,b \ge 0)”得出 \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{3 \times 12 }=\sqrt{36}=6。
2.\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=
[解析]：根据“二次根式乘法法则”“\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a \ge 0,b \ge 0)”得出 \sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{6 \times 6}=\sqrt{36}=6。
3.\sqrt{4 \times 9}=
[解析]：根据“二次根式乘法法则的逆运算”“\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a \ge 0,b \ge 0)”得出 \sqrt{4 \times 9}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{9}=2 \times 3 =6。
4.\sqrt{81^2}=
[解析]：\sqrt{81^2}=\sqrt{81 \times 81}=\sqrt{81}\cdot \sqrt{81}=9 \times 9=81。
除法
在二次根式中，\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \ge 0,b > 0)。例如：\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}。在这里，因为“\sqrt{b}”为分母，因为分母不能等于 0，所以当 b 同时在二次根式和分母里须同时满足“b \ge 0”和“b \neq 0”即 b>0。
即二次根式的除法法则：
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \ge 0,b > 0)
根据“\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \ge 0,b > 0)”可以得出 \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a \ge 0,b >0)。
即二次根式的除法法则的逆运算：
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a \ge 0,b >0)
根据“除数不能为 0”，我们可以拓展出 \sqrt{a} \div \sqrt{b} \div \sqrt{c}...(a \ge 0,b>0,c>0...)。
1.\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=
[解析]：根据“二次根式的除法法则”“\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \ge 0,b > 0)”可得 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{2}。
2.\sqrt{3\frac{3}{25}}=
[解析]：\sqrt{3\frac{3}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}。
最简二次根式
最简二次根式的特点（这里直接总结了）：满足以下条件的二次根式，是最简二次根式。
被开方数不含分母
被开方数不含能开得尽方的因数或因式
剖析：
被开方数不含分母：分母中不能含有二次根号（二次根号下不能有分母），这里的小数也视为分数，因为小数可以视为分子除以分母，且小数在根号下，故只要含有小数的就不是最简二次根式。
被开方数不含能开得尽方的因数或因式：把能运算的都算完后不得含有能写成一个完全平方数或是乘一个数或式。
在做题中，所有答案需要化成最简二次根式。
$\sqrt{2.7},\sqrt[3]{9},\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}},\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}},\frac{\sqrt{3}}{5},\frac{\sqrt{3}}{9},\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{x+0.5}$。
[解析]：“被开方数不含分母”视为第一条，“被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，视为第二条。$\sqrt{2.7}$ 可以写成小数，不满足第一条，$\sqrt[3]{9}$，不是二次根式且不满足第二条（因为 $9$ 是 $3$ 的平方），$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$，不满足第一条：分母中有二次根式，$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}$ 同理，且 $9,25$ 分别是 $3,5$ 的平方，$\frac{\sqrt{3}}{5}$ 全部满足，是最简二次根式，$\sqrt{a^2+b^2}$ 全部满足，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，而不是加数，是最简二次根式，$\sqrt{x+0.5}$ 不满足第一条，根号下“$0.5$”是分数，所以含有分母，故不是最简二次根式。
化为最简二次根式：
1. 先将能计算的全部计算完。
2. 数：化成完全平方数乘一个数的形式，若还有能化的，则继续（$64→4 \times 16→4 \times 4 \times 4$）。
3. 代数：化为平方乘代数的关系，若有能化的，则继续（$x^3→x\cdot x^2$）。
4. 化简后，根据二次根式的乘法法则的逆运算“$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a \ge 0,b \ge 0)$”将能分的数或式分开（$\sqrt{x \cdot 4 \times 4 \times 5}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{4} \cdot\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}=\sqrt{x}\cdot 2 \cdot 2 \cdot\sqrt{5}=4\sqrt{x}\cdot\sqrt{5}$）。
5. 最后根据二次根式的乘法法则“$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a \ge 0,b \ge 0)$”合并（$4\sqrt{x}\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5x}$）。
6. 若不满足最简二次根式的第一条，则根据二次根式的法则化为“$\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$”的形式，其中“$A,B$”可以是数或式。
7. 若不满足最简二次根式的第一条，则在第 $6$ 步后将分子分母分别乘分母（$\frac{\sqrt{A}\cdot\sqrt{B}}{\sqrt{B}\cdot\sqrt{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{B}$）。
8. 在第 $7$ 步后将分子根据 $1 \sim 5$ 步化为最简。
$1.$化为最简二次根式：$\sqrt{72x^3y}(x \ge 0,y \ge 0)$。
[解析]:
原式
$=\sqrt{4 \times 9 \times 2\cdot x^2 \cdot x \cdot y}
=\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}
=2 \times 3\sqrt{2}\cdot x \cdot\sqrt{xy}
$2.$化为最简二次根式：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2+0.5}}(a \ge 0,b \neq 0)$。
[解析]：原式$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2+0.5}}=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b^2+0.5}}{\sqrt{b^2+0.5}\cdot\sqrt{b^2+0.5}}=\frac{\sqrt{ab^2+0.5a}}{b^2+0.5}$。
### $16.3$ 二次根式的加减
#### 同类二次根式
概念：某些二次根式**化简成最简二次根式**后，如果**被开方数相同**，那么这几个二次根式叫做**同类二次根式**。
合并同类二次根式：$n\sqrt{A}+m\sqrt{A}=(n+m)\sqrt{A}$。这里的“$A$”指二次根式下的整体。同理，$n\sqrt{A}-m\sqrt{A}=(n-m)\sqrt{A}$。
$1.$计算 $\sqrt{3}+4\sqrt{3}$。
[解析]：直接合并，答案：$5\sqrt{3}$。
$2.$计算 $6\sqrt{3}+\sqrt{27}$。
[解析]：
原式
$=6\sqrt{3}+\sqrt{3 \times 9}
=6\sqrt{3}+\sqrt{3}\times \sqrt{9}
=6\sqrt{3}+\sqrt{3}\times 3
=6\sqrt{3}+3\sqrt{3}
=9\sqrt{3}
[解析]：
原式
$=\frac{\sqrt{3}\cdot{\sqrt{6}}}{\sqrt{6}\cdot{\sqrt{6}}}+3\sqrt{2}
=\frac{\sqrt{18}}{6}+3\sqrt{2}
=\frac{\sqrt{2 \times 9}}{6}+3\sqrt{2}
=\frac{3\sqrt{2}}{6}+3\sqrt{2}
=\frac{\sqrt{2}}{3}+3\sqrt{2}
=\frac{1}{2}\sqrt{2}+3\sqrt{2}
=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{6}{2}\sqrt{2}
=\frac{7}{2}\sqrt{2}
$A.\sqrt{8}\quad\quad\quad B.\sqrt{36}\quad\quad\quad C.\sqrt{2}\quad\quad\quad D.3\frac{\sqrt{2}}{2}
[点睛]：先化成最简二次根式，再看是否属于同类二次根式 → 可以合并（可以做加法）。
[解析]：
对于 A 选项，\sqrt{8}=\sqrt{4 \times 2}=2\sqrt{2}，与 \sqrt{2} 可合并为 3\sqrt{2}，故 A 选项符合题意。
对于 B 选项，\sqrt{36}=6，不能与“\sqrt{2}”合并，故 B 选项不符合题意。
对于 C 选项，\sqrt{2} 与 \sqrt{2} 一样，可以合并，故 C 选项符合题意。
对于 D 选项，3\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}，可以与 \sqrt{2} 进行加减，故 D 选项符合题意。
故答案为：A,C,D。